Елена Дробышева родилась в Москве 3 декабря 1964 года в семье народных артистов. В детстве Лена занималась живописью, много читала и посещала школу с углубленным изучением французского языка. Образование девочка продолжила в ГИТИСе на театроведческом факультете. Но уже через год Дробышева осознала, что её интересует не столько теория актерской профессии, сколько практика. В 1987 году девушка получила диплом Щукинского театрального училища. Театральную карьеру Елена начинала в Московском драматическом театре им. Симонова, но вскоре после кончины своего учителя, основавшего этот театр, актриса перешла в Театр им. Моссовета. С 1996 года Дробышева выходила на сцену Московского театра Луны. Кинодебют Елены пришелся на 1984 год – начинающая актриса сыграла небольшую роль в картине «Предел возможного». Следующей работой стала роль в фильме «Встреча перед разлукой», а в 1988 году на экраны вышла кинолента «Кто, если не мы», снискавшая славу на международных кинофестивалях. В новом тысячелетии послужной список актрисы пополнился такими проектами, как «Другая жизнь», «Казус Кукоцкого», «Анна Каренина». В 2019 году Дробышева сыграла главную роль в сериале «Ведьма», а 2021 год ознаменовался выходом военной драмы «Лётчик» с участием актрисы.